I den 37:e minuten hann Evertons ytterbacksveteran Ashley Young inte med. 38-åringens glidtackling var illa tajmad och Young fick kliva av planen efter att ha visats ett andra gult kort.
Uppgiften på Anfield blev därmed inte enklare för bottenlaget Everton, som i fjol räddade kontraktet först i sista omgången.
Kanske hade den blivit mer hanterbar om Liverpools Ibrahima Konaté även han fått en andra varning, vilket Evertonspelarna ropade på i andra halvlek.
I stället var det en straffspark som skulle avgöra matchen. Ett inlägg stoppades av Michael Keanes utsträckta arm och domaren valde efter VAR-granskning att peka på straffpunkten.
Fram klev skyttekungen Mohamed Salah och sköt samtliga tre poäng till Liverpool.
På stopptid satte egyptiern spiken i kistan med sitt andra mål.
Liverpool kliver därmed upp i serieledning. Merseysidelaget har dock en match fler spelad än Londonrivalerna Arsenal och Tottenham och leder på bättre målskillnad.
Everton förblir kvar på 16:e plats, tre poäng och med en match fler spelad än Burnley på fel sida nedflyttningsstrecket.