Närkingarna fick 1-0 på övertid i första halvlek sedan Magnus Wikström nickat in bollen.
Då hade ÅFF flera goda chanser och bland annat hade Magnus Eriksson ett skott i stolpen.
I andra halvlek var det fortsatt jämnt, till och med ett visst spelövertag för ÅFF.
Först i 90:e minuten kom det definitiva avgörandet då Tommy Wirtanen satte 2-0.
På övertid kom sedan också 3-0 genom Robin Staf, ett mål som luktade offside lång väg.
- Vi har tyvärr inte marginalerna med oss i kväll. Tycker vi står upp riktigt bra mot ännu ett allsvenskt lag, säger tränaren Andreas Thomsson.
ÅFF hade tagit sig till kvartsfinal via segrar över Karlslund, AIK och Öster, men nu är det slutspelat i årets svenska cup.
2018 åskådare fanns på plats på Kopparvallen.