Veteranen Mahamadou fick sin första ministerportfölj 1991 och var fram till valet i februari stabschef hos förre presidenten Mahamadou Issoufou.
Bazoum stod Issoufou mycket nära och maktöverlämnandet mellan dem var landets första fredliga sedan dess självständighet från Frankrike 1958.
I onsdags försökte elittrupper storma presidentpalatset i vad som ses som ett försök till militärkupp.
Sedan valet har islamistiska grupper utfört flera terrorattentat. Protester till stöd för förre presidenten Mahamane Ousmane har också ägt rum. Han blev 1993 landets första demokratiskt valda ledare men störtades tre år senare, och var i år Bazoums främste utmanare.