Organisationerna kräver också att bland annat justitieministern, ordföranden för landets kongress och chefsdomaren i Högsta domstolen lämnar sina platser till förfogande.
"Vi bevittnar hur rättsstatsprincipen ödeläggs och hur en partidiktatur har byggts upp som har förvandlats till en knarkstat," skriver företrädarna för de icke-politiska organisationer som har skrivit under avgångskravet.
Organisationerna vill att en övergångsregering leder landet fram till allmänna val den 28 november.
Presidentens bror Tony Hernández dömdes i slutet av mars till livstids fängelse i USA för knarksmuggling. Mutpengar som han fått av den nu livstidsdömde knarkkungen Joaquín "El Chapo" Guzmán uppges ha gått till flera av brodern Juan Orlandos valkampanjer.
President Hernández har tidigare förnekat all kännedom om knarkpengarna och har i stället vid upprepade tillfällen sagt sig bekämpa knarkhandeln i landet och hävdat att han är allierad med USA mot kartellerna.
I en annan, pågående, rättegång i New York anklagas han dock för att ha hjälpt knarksmugglare att föra in tonvis med kokain i USA, bland annat genom att låta militären skydda smugglarna.