Britten efterträder landsmannen Mark Lowcock på posten.
69-årige Griffiths har verkat som särskilt sändebud i Jemen sedan 2018.
FN har beskrivit Jemen som världens värsta humanitära situation och varken Griffiths eller hans företrädare där – Ismail Ould Cheikh Ahmed från Mauretanien – har lyckats stoppa konflikten. Så sent som i förra veckan reagerade USA starkt på att Huthirebellerna i Jemen vägrade träffa Griffiths.
– En medlare kan inte tvinga parterna att förhandla, sade Griffiths vid ett möte i säkerhetsrådet på onsdagen.
Griffiths har länge arbetat i humanitära roller vid FN. Han var bland annat rådgivare till före detta generalsekreteraren Kofi Annan under dennes försök att avsluta Syriens inbördeskrig och ledde före Jemenuppdraget Europeiska institutet för fred i Bryssel.