Michel Moawad vann flest röster under torsdagens omröstning – 44 stycken – men är fortfarande långt ifrån de 86 som behövs för att säkra presidentposten.
Hans pappa René Moawad var på 1980-talet landets president i rekordkorta 17 dagar innan han dödades i ett bombattentat.
Libanons parlament är splittrat mellan anhängare och motståndare till den Iranstödda shiamuslimska Hizbollahmilisen. Ingen av sidorna har nått en klar majoritet.
Michel Aouns tillträde 2016 följde efter en över två år lång vakans i presidentpalatset. Då tog det 45 misslyckade försök innan parlamentsledamöterna kom överens.
Det nuvarande politiska vakuumet kommer i ett läge av allvarlig samhällskris i Libanon. Sedan 2018 har landet genomgått en proteströrelse som avsatt flera ministrar, en av de största explosionerna i världshistorien och en ekonomisk kris som Världsbanken benämner som en av de värsta i modern tid.