McConnell motiverar sitt besked med att den sittande presidenten Donald Trump har "100 procent rätt att undersöka anklagelser om oegentligheter" i samband med valet.
Inte heller kommer McConnell att erkänna Kamala Harris som blivande vicepresident.
Även senator Lindsey Graham (South Carolina), som leder det mäktiga juridiska utskottet anser att Trump inte behöver erkänna ett valresultat som bara medier bekräftat.
Behåller greppet
Andra tunga Trumpsupportrar är representanthusets minoritetsledare Kevin McCarthy (Kalifornien), senator Roy Blunt (Missouri) och guvernör Kristi Noem (South Dakota), rapporterar The Hill.
Stödet visar att Trump på intet vis tappat greppet om sitt parti, i alla fall inte ännu.
Å andra sidan återfinns expresident George W Bush som gratulerade Biden på söndagen. "En bra person, som vunnit möjligheten att leda och ena vårt land".
I sitt uttalande skrev Bush att Trump har all rätt att pröva juridiska vägar för att granska resultatet. Men han ifrågasätter det inte:
"Det amerikanska folket kan lita på att valet i stort sett gick rätt till, att dess oberoende upprätthölls och att valutgången är tydlig."
Tidigare hade den republikanske senatorn Mitt Romney (Utah) redan gratulerat Biden i klassisk amerikansk tradition. Så även senator Lisa Murkowski (Alaska).
Också den republikanska Mainesenatorn Susan Collins gratulerade på måndagen den tillträdande presidenten Joe Biden till hans "uppenbara seger".
Avskedat försvarsministern
McConnells besked kom några timmar efter att Trump skrivit på Twitter att han avskedat sin försvarsminister Mark Esper.
Annars har budskapet från Donald Trumps läger varit att rättsprocesserna som ifrågasätter valresultatet ska drivas vidare.
Trump själv har under måndagen twittrat flera gånger och bland annat upprepat att det förekommit oegentligheter i röstsammanräkningen.
Han har också skrivit uppskattande om läkemedelsbolaget Pfizers positiva resultat från vaccinstudien mot coronaviruset.
Trump har inte talat offentligt sedan i torsdags, då han utan bevis påstod att Joe Biden vunnit presidentvalet tack vare fusk. Vi tar det till Högsta domstolen, sade Trump då.
"Inte i vårt ordförråd"
Fox News Business Network frågade på måndagen kampanjrådgivaren Jason Miller när Trump ska erkänna sig besegrad och ringa Biden.
– Det ordet finns inte i vårt ordförråd nu. Vi ska fortsätta med alla juridiska möjligheter, alla omräkningssätt, svarade Miller.
Det dröjer innan delstaterna officiellt bekräftar valresultaten. Men traditionen bjuder att den förlorande parten accepterar utslaget som de stora medierna och analysföretag har fastslagit. De pekade i lördags ut Biden som vinnare.
I helgen när valresultatet kom, valde Trump att spela golf två gånger och fortsätta twittra påståenden om att valet var riggat.
"Han är den han är"
Tecken inifrån Trumps innersta cirkel tyder på oenighet om hur hantera situationen. CNN har rapporterat att hustrun Melania Trump och svärsonen och huvudrådgivaren Jared Kushner rekommenderat honom att acceptera förlusten. Däremot vill sönerna Don Jr Trump och Eric Trump att pappa står upp mot det påstådda valfusket.
En av Trumps vänner, Newsmax-chefen Christopher Ruddy, säger till CNN att den sittande presidenten "för tillfället inte är intresserad av att erkänna sig besegrad".
Den förre republikanske presidentkandidaten Mitt Romney är en återkommande Trumpkritiker. Han understryker att det inte bevis för utbrett valfusk. Hans tips är att Trump faller till föga när alla juridiska vägar att ändra valresultatet är till ända.
– Man kommer inte att förändra president Trumps natur under de här uppenbarligen sista dagarna av hans presidenttid. Han är den han är. Och han har ett relativt avslappnat förhållande till sanningen, säger Romney till CNN.